สรุป

สรุป การให้เหตุผลแบบอุปนัย
– โดยอ้างจากตัวอย่างหรือประสบการณ์ย่อยหลายๆตัวอย่าง แล้วสรุปเป็นความรู้ทั่วไป
– จากเหตุกาณ์เฉพาะที่เกิดขึ้นซ้ำๆหลายๆครั้ง
– โดนใช้การคาดคะเน
– จากประสบการณ์ของผู้สรุป
– สิ่งที่กำหนดให้ จะสนับสนุน ผลสรุปแต่จะไม่สามารถยืนยันข้อสรุปได้
– ย่อย>>ใหญ่ คือการนำข้อค้นพบจากตัวอย่างหลาย ๆ ตัวอย่างมาสรุปเป็นความรู้ทั่วไป กฎ สูตรหรือหลักการ

สรุป การให้เหตุผลแบบนิรนัย
– โดยอ้างเหตุผลจากความรู้พื้นฐานชุดหนึ่งที่ยอมรับกันมาก่อน
– เมื่อเหตุ (ข้อสมมติ) เป็นจริง แล้วทำให้เกิดผลสรุป
– สิ่งที่กำหนดให้ (เหตุ) สามารถยืนยันผลสรุปได้
– ถ้าเหตุนั้นทำให้เกิดผลสรุปได้ =การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล
– ถ้าเหตุทำให้เกิดผลสรุปไม่ได้ =การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล
– ใหญ่>>ย่อย คือการนำความรู้ทั่วไปกฎ สูตร หรือหลักการมาใช้ในการหาคำตอบหรืออธิบายหรือให้เหตุผลกับกรณีเฉพาะอันหนึ่ง

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย

1.  เหตุ   1) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว                 2.เหตุ     1) คนทุกคนต้องตาย
                2) 10 หารด้วย 2 ลงตัว                                                                         2) นายวิชาเป็นคน
      ผล  10  เป็นจำนวนคู่                                                             ผล           นายวิชาต้องตาย                                                
                          สมเหตุสมผล                                                                                                    สมเหตุสมผล

3.  เหตุ   1) นักกีฬากลางแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี                    4.  เหตุ   1) นกทุกตัวบินได้
                2) เกียรติศักดิ์เป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย                                          2) ค้างคาวเป็นนก
     ผล   เกียรติศักดิ์มีสุขภาพดี                                 ผล           ค้างคาวบินได้                                                     
                                          สมเหตุสมผล                                                                                  สมเหตุสมผล
                                                                               
            จากตัวอย่างการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วจึงหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผล (valid) เช่น

เหตุ        1) เรือทุกลำลอยน้ำได้        
            2) ถังน้ำพลาสติก ลอยน้ำได้
                                ผล           ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ                                                      

การสรุปผลจากข้างต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่าเรือทุกลำลอยน้ำ
ได้ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปดังกล่าวข้างต้นจึงเป็นการสรุปไม่สมเหตุสมผล

                ข้อสังเกต              การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ
                                                                1)  ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ
                                                                2)  การสรุปผลสมเหตุสมผล

ตัวอย่างการให้เหตุผล

1.  เหตุ   1) นายธนาคารทุกคนเป็นคนรวย                                      
                2) นายอภิศักดิ์ เป็นนายธนาคาร                                                                       
   ผล     นายอภิศักดิ์ เป็นคนรวย                       

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

            การให้เหตุผลแบบนิรนัยเกิดจากการมีสมมติฐานทั่วไปและตามด้วยสมมติฐานเฉพาะย่อยๆ ไปเรื่อยๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานทั่วไป และสมมติฐานเฉพาะจะก่อให้เกิดผลสรุปเฉพาะ โดยต้องยอมรับว่าสมมติฐานทุกสมมติฐานเป็นข้อความที่เป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป

ข้อสังเกตและปัญหาของการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.  การสรุปผลที่ได้จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้ง ผลสรุปดังกล่าวอาจจะไม่เป็นจริงเสมอไป เช่นจากการพบไข่มุกหลาย ๆ ครั้ง ปรากฏว่าไข่มุกที่พบนั้นมีสีขาว จึงสรุปว่าไข่มุกมีสีขาว ซึ่งการสรุปผลนี้ไม่เป็นจริงเพรามีไข่มุกบางชนิดมีสีชมพูหรือสีเทา

2. การสรุปผลโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยนั้นบางครั้งผลสรุปของแต่ละคนอาจจะไม่เหมือนกัน เพราะผลที่ได้จากการสังเกตต้องขึ้นกับพื้นฐานและประสบการณืของผู้สังเกตแต่ละคน เช่น จงพิจารณาการเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้

                              2, 4, 6,…  จงหาจำนวนที่เรียงต่อจาก 6 มา 2 จำนวน

คนที่หนึ่ง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่าเป็นการเรียงของจำนวนคู่ ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไปคือ 8, 10

คนที่สอง สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า สองจำนวนหน้าบวกกันจะได้จำนวนถัดไป เช่น 6 ได้มาจาก 2+4

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป            คือ   4+6   = 10

แสดงว่า จำนวนที่ถัดจาก 10 ไป          คือ   6+10 = 16

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 10, 16

คนที่สาม                สังเกตการเรียงของ 2, 4, 6 ว่า จำนวนถัดไปต้องเกิดจาก 2 จำนวนหน้าคูณกันแล้วลบด้วย 2

เช่น  6 เกิดจาก

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 6 ไป           คือ      = 22

แสดงว่า  จำนวนที่ถัดจาก 22 ไป         คือ     = 130

ดังนั้น อีก 2 จำนวนถัดไป คือ 22, 130

3.             ข้อมูล หลักฐานหรือข้อเท็จจริงเป็นตัวแทนที่ดีในการให้ข้อสรุปหรือไม่ เช่น ถ้าอยากรู้ว่าคนไทยชอบกินข้าวเจ้าหรือข้าวเหนียวมากกว่ากัน ถ้าถามจากคนที่อาศัยอยู่ในภาคเหนือหรือภาคอีสาน คำตอบที่ตอบว่าชอบกินข้าวเหนียวอาจจะมีมากกว่าชอบกินข้างเจ้า แต่ถ้าถามคนที่อาศัยอยู่ในภาคกลางหรือภาคใต้ คำตอบอาจจะเป็นในลักษณะตรงข้าม

4.  ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนมากน้อยเพียงใด เช่นในเรื่องเกี่ยวกับจิตใจตัวอย่าง เช่น การมีลูกชายจะดีกว่าการมีลูกสาว เป็นต้น ซึ่งความคิดในเรื่องดังกลาวจะค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับเหตุผลส่วนตัวของแต่ละคนซึ่งแตกต่างกัน

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1.       สุนทรี พบว่า ทุกครั้งที่คุณแม่ไปซื้อก๋วยเตี๋ยวผัดไทยจะมีต้นกุยช่ายมาด้วยทุกครั้ง

จึงสรุปว่า ก๋วยเตี๋ยวผัดไทยต้องมีต้นกุยช่าย

2.       ชาวสวนมะม่วงสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนั้นจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็นสาเหตุที่ทำให้ผลผลิตน้อย ต่อมามีชาวสวนหลายคนทดลองฉีดน้ำล้างช่อมะม่วง เมื่อมีหมอกมากๆ พบว่าจะได้ผลผลิตมากขึ้น จึงสรุปว่า การล้างช่อมะม่วงตอนมีหมอกมากๆ จะทำให้ได้ผลผลิตมากขึ้น

3.       นายสมบัติ พบว่า ทุกครั้งที่ทำความดีจะมีความสบายใจ
จึงสรุปผลว่า การทำความดีจะทำให้เกิดความสบายใจ

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัยทางคณิตศาสตร์

–         จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยสรุปผลเกี่ยวกับผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวน

0+2   =  2      (จำนวนคู่)

2+4   =  6      (จำนวนคู่)

4+6   =  10    (จำนวนคู่)

6+8   =  14    (จำนวนคู่)

8+10   = 18   (จำนวนคู่)

สรุปผลว่า ผลบวกของจำนวนคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เกิดจากการที่มีสมมติฐานกรณีเฉพาะ หรือเหตุย่อยหลายๆ เหตุ เหตุย่อยแต่ละเหตุเป็นอิสระจากกัน มีความสำคัญเท่าๆ กัน และเหตุทั้งหลายเหล่านี้ไม่มีเหตุใดเหตุหนึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นสมมติฐานกรณีทั่วไป หรือกล่าวได้ว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการนำเหตุย่อยๆ แต่ละเหตุมารวมกัน เพื่อนำไปสู่ผลสรุปเป็นกรณีทั่วไป เช่น

คอมพิวเตอร์ช่วยพยาน

  บทความหลัก: คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์

    จนถึงศตวรรษที่ยี่สิบก็สันนิษฐานว่าหลักฐานใดๆได้ในหลักการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มีอำนาจในการยืนยันความถูกต้องของ
อย่างไรก็ตามคอมพิวเตอร์ที่ใช้ตอนนี้ทั้งสองพิสูจน์ theorems และดำเนินการคำนวณที่ยาวเกินไปสำหรับใดๆมนุษย์
หรือทีมบุคลากรเพื่อตรวจสอบ; หลักฐานแรกของ ทฤษฎีบทสี่สี เป็นตัวอย่างของคอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์บางคนกังวลว่าเป็นไปได้ของข้อผิดพลาด
ในโปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือใช้เป็นข้อผิดพลาดเวลาในการคำนวณสายความถูกต้องของคอมพิวเตอร์ดังกล่าวช่วยพยานในคำถาม
ในทางปฏิบัติโอกาสที่ผิดพลาด invalidating คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์ได้ลดลง incorporating เหลือเฟือและตนเองในการตรวจสอบการ
คำนวณและการพัฒนาวิธีอิสระหลายและโปรแกรม

หลักฐานอันสถิติคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

บทความหลัก: หลักฐานสถิติ

    แสดงออก “พิสูจน์สถิติ” อาจใช้เทคนิคหรือ colloquially ในพื้นที่ของ คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ เช่นเกี่ยวกับ การอ่านรหัส, series
วุ่นวาย และน่าจะเป็นหรือ ทฤษฎีจำนวน วิเคราะห์ เป็นน้อยใช้ทั่วไปที่อ้างถึงหลักฐานทางคณิตศาสตร์ในสาขาของ
คณิตศาสตร์ที่เรียกว่า สถิติคณิตศาสตร์ ดูยัง “พิสูจน์สถิติการใช้ข้อมูลส่วน” ด้านล่าง

หลักฐานคอลัมน์สอง

     สองหลักฐานที่เผยแพร่ในคอลัมน์ 1,913รูปแบบโดยเฉพาะการพิสูจน์โดยใช้สองคอลัมน์ขนานมีการใช้บ่อยในชั้นเรียนเรขาคณิตประถม
 หลักฐานจะเขียนเป็นชุดของเส้นในสองคอลัมน์.  ในแต่ละบรรทัดคอลัมน์มือซ้ายมี propositions
(หรือบางครั้งเรียกว่างบ) ในขณะที่คอลัมน์ขวามือมีคำอธิบายสั้นๆว่าเรื่องนี้มีทั้งความจริง, สมมติฐานหรือสามารถรับจาก
บรรทัดก่อน (หรือบางครั้งเรียกว่าเพียงแค่เหตุผล “”)

 

หลักฐานเบื้องต้น

     บทความหลัก: หลักฐานเบื้องต้น

    หลักฐานเบื้องต้นเป็นหลักฐานที่เพียงใช้เทคนิคพื้นฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งคำที่ใช้ใน ทฤษฎีจำนวน ที่ดูหลักฐานอันที่ใช้การ วิเคราะห์ที่ซับซ้อน
 ไม่ ครั้งก็คิดว่าบาง theorems เช่น ทฤษฎีบทจำนวนที่สำคัญ อาจจะถูกพิสูจน์โดยใช้ “สูง”
คณิตศาสตร์บาง แต่เมื่อเวลาผ่านไปหลายผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการ reproved ใช้เทคนิคเบื้องต้นเท่านั้น